quinta-feira, 23 de janeiro de 2014

Teoria dos Conjuntos




Teoria dos Conjuntos


A concepção de conjuntos nem precisa ser dita, o próprio nome já diz tudo. Ex. Pega um grupo de cadeiras e junta sobre um círculo feito no chão.
Pronto, temos um conjunto de cadeiras.

Um conjunto é frequentemente definido através de uma propriedade que caracteriza seus elementos. Mais precisamente, parte-se de uma propriedade P.  Ela define um conjunto X, assim: se um objeto x goza da propriedade P, então      x Î X; se x não goza de P então x Ï X. Escreve-se:

X  =  {x | x goza da propriedade P}.

Lê-se: “X  é o conjunto dos elementos x tal que x goza da propriedade P”. No caso particular em que a propriedade  P  se refere a elementos de um conjunto fundamental E, indicaremos  X por:

X  =  {x Î | x goza da propriedade P}.

Caso ocorra de nenhum elemento de E gozar da propriedade P, diremos que o conjunto {x Î E  | x goza de P} não possui elemento algum e o denominaremos de Conjunto Vazio. Para representá-lo, usaremos o símbolo Æ.

Conjuntos numéricos podem ser representados de diversas formas. A forma mais simples é dar um nome ao conjunto e expor todos os seus elementos, um ao lado do outro, entre os sinais de chaves. Veja o exemplo:
Esse conjunto se chama "A" e possui três termos, que estão listados entre chaves.
Os nomes dos conjuntos são sempre letras maiúsculas. Quando criamos um conjunto, podemos utilizar qualquer letra.

1      Conjuntos Numéricos


Para trabalharmos com números, devemos primeiramente ter um conhecimento básico de quais são os conjuntos ("tipos") de números existentes atualmente.
A noção de número tem provavelmente a idade do homem e certamente sempre esteve ligada à sua necessidade de registrar e interpretar os fenômenos que o cercavam.
Os primeiros símbolos numéricos conhecidos surgiram com o intuito de representar a variação numérica em conjuntos com poucos elementos. Com a ampliação e a diversificação de suas atividades, o homem sentiu a necessidade de criar novos símbolos numéricos e processos de contagem e desenvolver sistemas de numeração.
A maioria dos sistemas de numeração tinha como base os números 5 ou 10, numa clara referencia ao numero de dedos que temos nas mãos. Esses sistemas ainda não possuíam a notação posicional nem o número zero.
Os primeiros registros da utilização da notação posicional ocorreram na Babilônia, por volta de 2500 $a.C.$Já o aparecimento do zero data do século IX e é atribuído aos hindus.
Também se atribuiu aos hindus o atual sistema de numeração posicional decimal, que foi introduzido e difundido na Europa pelos árabes. Por essa razão, esse sistema é costumeiramente chamado de sistema de numeração indo-arábico.
Deve-se a Leonardo de Pisa (1175-1240), também chamado Fibonacci, a difusão do sistema indo-arábico na Europa, através de sua obra Líber Abacci, de 1202.

1.1      Números Naturais


Vamos começar nos primórdios da matemática.
- Se eu pedisse para você contar até 10, o que você me diria?
- Um, dois, três, quatro, cinco, seis, sete, oito, nove e dez.

Pois é, estes números que saem naturalmente de sua boca quando solicitado, são chamados de números NATURAIS, o qual é representado pela letra .
Foi o primeiro conjunto inventado pelos homens, e tinha como intenção mostrar quanti