A concepção de conjuntos nem precisa ser dita, o próprio nome já diz tudo. Ex. Pega um grupo de cadeiras e junta sobre um círculo feito no chão.

Pronto, temos um conjunto de cadeiras.

Um conjunto é frequentemente definido através de uma propriedade que caracteriza seus elementos. Mais precisamente, parte-se de uma propriedade P. Ela define um conjunto X, assim: se um objeto x goza da propriedade P, então x Î X; se x não goza de P então x Ï X. Escreve-se:

X = {x | x goza da propriedade P}.

Lê-se: “X é o conjunto dos elementos x tal que x goza da propriedade P”. No caso particular em que a propriedade P se refere a elementos de um conjunto fundamental E, indicaremos X por:

X = {x Î E | x goza da propriedade P}.

Caso ocorra de nenhum elemento de E gozar da propriedade P, diremos que o conjunto {x Î E | x goza de P} não possui elemento algum e o denominaremos de Conjunto Vazio. Para representá-lo, usaremos o símbolo Æ.

Conjuntos numéricos podem ser representados de diversas formas. A forma mais simples é dar um nome ao conjunto e expor todos os seus elementos, um ao lado do outro, entre os sinais de chaves. Veja o exemplo:

Esse conjunto se chama "A" e possui três termos, que estão listados entre chaves.

Os nomes dos conjuntos são sempre letras maiúsculas. Quando criamos um conjunto, podemos utilizar qualquer letra.

1 Conjuntos Numéricos

Para trabalharmos com números, devemos primeiramente ter um conhecimento básico de quais são os conjuntos ("tipos") de números existentes atualmente.

A noção de número tem provavelmente a idade do homem e certamente sempre esteve ligada à sua necessidade de registrar e interpretar os fenômenos que o cercavam.

Os primeiros símbolos numéricos conhecidos surgiram com o intuito de representar a variação numérica em conjuntos com poucos elementos. Com a ampliação e a diversificação de suas atividades, o homem sentiu a necessidade de criar novos símbolos numéricos e processos de contagem e desenvolver sistemas de numeração.

A maioria dos sistemas de numeração tinha como base os números 5 ou 10, numa clara referencia ao numero de dedos que temos nas mãos. Esses sistemas ainda não possuíam a notação posicional nem o número zero.

Os primeiros registros da utilização da notação posicional ocorreram na Babilônia, por volta de 2500

Já o aparecimento do zero data do século IX e é atribuído aos hindus.

Também se atribuiu aos hindus o atual sistema de numeração posicional decimal, que foi introduzido e difundido na Europa pelos árabes. Por essa razão, esse sistema é costumeiramente chamado de sistema de numeração indo-arábico.

Deve-se a Leonardo de Pisa (1175-1240), também chamado Fibonacci, a difusão do sistema indo-arábico na Europa, através de sua obra Líber Abacci, de 1202.

1.1 Números Naturais

Vamos começar nos primórdios da matemática.

- Se eu pedisse para você contar até 10, o que você me diria?

- Um, dois, três, quatro, cinco, seis, sete, oito, nove e dez.

Pois é, estes números que saem naturalmente de sua boca quando solicitado, são chamados de números NATURAIS, o qual é representado pela letra

Foi o primeiro conjunto inventado pelos homens, e tinha como intenção mostrar quanti

dades.

Obs.: Originalmente, o zero não estava incluído neste conjunto, mas pela necessidade de representar uma quantia nula, definiu-se este número como sendo pertencente ao conjunto dos Naturais. Portanto:

Como o zero originou-se depois dos outros números e possui algumas propriedades próprias, algumas vezes teremos a necessidade de representar o conjunto dos números naturais sem incluir o zero. Para isso foi definido que o símbolo * (asterisco) empregado ao lado do símbolo do conjunto, que representa a ausência do zero. Veja o exemplo:

1.2 Números Inteiros

Os números naturais foram suficientes para a sociedade durante algum tempo. Com o passar dos anos, e o aumento das "trocas" de mercadorias entre os homens, foi necessário criar uma representação numérica para as dívidas.

Com isso inventaram-se os chamados "números negativos", e junto com estes números, um novo conjunto: o conjunto dos números inteiros, representado pela letra

O conjunto dos números inteiros é formado por todos os números NATURAIS mais todos os seus representantes negativos.

Note que este conjunto não possui início nem fim (ao contrário dos naturais, que possui um início e não possui fim).

Assim como no conjunto dos naturais, podemos representar todos os inteiros sem o ZERO com a mesma notação usada para os NATURAIS.

Em algumas situações, teremos a necessidade de representar o conjunto dos números inteiros que NÃO SÃO NEGATIVOS.

Para isso emprega-se o sinal "+" ao lado do símbolo do conjunto (vale a pena lembrar que esta simbologia representa os números NÃO NEGATIVOS, e não os números POSITIVOS, como muita gente diz). Veja o exemplo:

Obs.: Note que agora sim este conjunto possui um início. E você pode estar pensando "mas o zero não é positivo". O zero não é positivo nem negativo, zero é NULO.

Ele está contido neste conjunto, pois a simbologia do sinalzinho positivo representa todos os números NÃO NEGATIVOS, e o zero se enquadra nisto.

Se quisermos representar somente os positivos (ou seja, os não negativos sem o zero), escrevemos:

Pois assim teremos apenas os positivos, já que o zero não é positivo. Ou também podemos representar somente os inteiros NÃO POSITIVOS com:

Obs.: Este conjunto possui final, mas não possui início. E também os inteiros negativos (ou seja, os não positivos sem o zero):

Uma propriedade interessante dos números inteiros, que já foi mencionada neste texto (e que podemos representar em um gráfico) é a de ter em seu interior todos os números naturais. Veja o gráfico a seguir:

Figura 1 – N está contido em Z.

Todo número natural é inteiro, isto é, N é um subconjunto de Z

1.2.1 Operações com Números Inteiros

I) Adição e Subtração

I.a) Sinais iguais: Soma-se e conserva-se o mesmo sinal.

I.b) Sinais diferentes: Diminui-se e dá-se o sinal do maior.

II) Multiplicação e Divisão:

Aplica-se a regra dos sinais: $\left\{ \begin{array}{l} + \; \; + = +\\ - \; \; + = -\\ + \; \; - = -\\ - \; \; - = + \end{array} \right.$

Obs.: Pela ordem, resolver $(\; \; \;)$ ; $[\; \; \;]$ ; $\{\;\;\;\}$ .

1.2.1.1 Exemplo:

$-3 \cdot \{14 \div (-7)-3 \cdot [4 -(10-12+9-7-4)\div 2]\}$ $-3\cdot \{ - 2 - 3 \cdot [ 4 - ( - 4 )\div 2 ]\}$
$- 3 \cdot \{ - 2 - 3 \cdot [ 4 + 2] \}$
$- 3 . \{ - 2 - 3 \cdot [ + 6 ] \}$
$- 3 . \{ -2 - 18 \}$
$- 3 . \{ - 20 \}$

1.3 Números Racionais

Olhando ainda pela linha do tempo, em um determinado momento começou a ficar crucial a necessidade de se representar "partes" de alguma coisa. Ex.: fatia de um bolo, pedaço de um terreno,... e por essa necessidade foi inventado as frações. Para incluir os números ditos fracionários, junto com os já existentes, criou-se o conjunto dos números RACIONAIS (

), que indica uma razão (divisão) entre dois números inteiros.

Os números racionais são todos aqueles que podem ser representados por uma fração de números inteiros.

Mas os números 6 e o 2,3 não têm o sinal de fração e são números racionais?

- Ora, o 6 pode ser representado pela fração

ou até mesmo

, e o 2,3 pode ser

, portanto, se um número tem a possibilidade de ser escrito em fração de números inteiros, é considerado racional.

Então me parece que todos os números com vírgula serão racionais??

- Não. Somente os que possuírem finitos algarismos após a vírgula, e as chamadas dízimas periódicas, que possuem infinitos algarismos após a vírgula mas são números racionais. Veja os exemplos a seguir.

3,14159265...	Este não é um número Racional, pois possui infinitos algarismos após a vírgula (representados pelas reticências)
2,252	Este é um número Racional, pois possui finitos algarismos após a vírgula.
2,252525...	Este número possui infinitos números após a vírgula, mas é racional, é chamado de dízima periódica. Reconhecemos um número destes quando, após a vírgula, ele sempre repetir um número (no caso 25).

Com isso podemos concluir que o conjunto dos números RACIONAIS é formado por todos os números Inteiros (como vimos no exemplo anterior, um inteiro pode ser representado como uma fração, por exemplo, 10 pode ser

) e mais alguns.

Portanto, o conjunto dos inteiros está "dentro" do conjunto dos Racionais. Representamos assim:

Figura 2 - Z está contido em Q.

Os números racionais são aqueles que podem ser expressos na forma a/b, onde a e b são inteiros quaisquer, com b diferente de 0.

Q = { a/b com a e b pertencentes a Z com b diferente de 0 }

Assim como exemplo podemos citar o –1/2 , 1 , 2,5 ,...

-Números decimais exatos são racionais. Pois:

0,1 = 1/10

2,3 = 23/10

- Números decimais periódicos são racionais.

0,1111... = 1/9

0,3232 ...= 32/99

2,3333 ...= 21/9

0,2111 ...= 19/90

-Toda dízima periódica 0,9999 ... 9 ... é uma outra representação do número 1.

Observe que o número racional 0,323232.... pode ser escrito como x; onde:

100x = 32,3232....; isto é: 100x = 32 + 0,3232... = 32 + x. Implicando em dizer que 100x – x = 32; logo x = 32/99.

Obs.: As notações para os "não positivos" e os "não negativos", utilizados para os inteiros, também podem ser usadas para os racionais. O zero é um número racional, pois podemos representá-lo pela fração:

= {Todos os racionais sem o zero}

= {Todos os racionais NÃO NEGATIVOS}

= {Todos os racionais NÃO NEGATIVOS sem o zero, ou seja, os positivos}

= {Todos os racionais NÃO POSITIVOS}

= {Todos os racionais NÃO POSITIVOS sem o zero, ou seja, os negativos}

1.4 Números Irracionais

Se formos um pouco mais além na história, vamos chegar ao famoso teorema de Pitágoras.

Pense comigo: Se temos um triângulo com catetos medindo 1 unidade de comprimento.

Figura 3 – Triângulo retângulo de hipotenusa igual a

Pelo teorema de Pitágoras, calculamos que o terceiro lado (a hipotenusa), vale

- E quanto é

- Pois isto não podemos dizer exatamente. O que se sabe é que não dá para representar como uma fração de números inteiros, pois tem infinitas casas depois da vírgula (e não é uma dízima periódica). Então não podemos chamá-lo de número racional. Por este motivo houve a necessidade de criar-se mais um conjunto. Que, por oposição aos números racionais, chama-se "CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS". Formado por todos os números que, ao contrário dos racionais, NÃO podem ser representados por uma fração de números inteiros. Este conjunto é representado por

O conjunto dos números irracionais são aqueles que não podem ser expressos na forma a/b, com a e b inteiros e b diferente de 0. São compostos por dízimas infinitas não periódicas.

Por exemplo:

$\begin{eqnarray*} \pi &=& 3,1415926535 \ldots \\ \sqrt{2} &=& 1,414213562 \ld... ...\\ \sqrt{3} &=& 1,7320508 \ldots \\ e &=& 2,718281827 \ldots \end{eqnarray*}$

Obs.: Note que as dízimas periódicas são números racionais, enquanto as dízimas não periódicas são números irracionais.

Por exemplo:

=> Todos estes valores não podem ser representados por uma fração de números inteiros, portanto, são chamados de números irracionais.

=> Este número também não tem uma representação em forma de fração, por isso também é um número irracional. Ou seja, se somarmos um racional com um irracional teremos como resultado um irracional.

=> Este também é irracional, pelo mesmo motivo do número acima.

- Todas as raízes não exatas fazem parte do conjunto dos números irracionais. Mas não são só elas, também estão neste conjunto o número pi (π=3,141592...), o número de Euler (e = 2,71828...), e alguns outros.

Portanto, se um número for racional, não pode ser irracional, e vice-versa. Por isso que, ao representarmos nos balões, devemos separá-los. Veja a figura a seguir:

Figura 4 – Conjuntos Q e I.

1.5 Números Reais

Os números racionais e irracionais foram utilizados por séculos e até hoje são considerados os mais importantes. Por este motivo, foi dado um nome para o conjunto formado por todos estes conjuntos. O nome escolhido foi "CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS" que é a reunião do conjunto dos números irracionais com o dos racionais.

Figura 5 -

Se um número é Real, ou ele será Racional ou ele será Irracional, e se encontrará no seu respectivo conjunto. Não existindo nenhum número que seja REAL e não seja ou RACIONAL ou IRRACIONAL.

1.5.1 Representação de um intervalo na reta real

Um intervalo é representado na reta real utilizando-se de uma pequena “bolinha vazia” para indicar que um dos pontos extremos não pertence ao intervalo e de uma “bolinha cheia” para indicar que o ponto extremo pertence.

Figura 6 – Representação de um intervalo na reta real.

1.5.2 Tipos de Intervalos:

Dados a e b números reais, com a ≤ b, x pertencente ao intervalo e c o seu comprimento, podemos classificar os intervalos como:
a) Intervalo Fechado de comprimento finito c = b - a:

[a,b] = {x ε R | a ≤ x ≤ b}

b) Intervalo fechado à esquerda e aberto à direita de comprimento finito c = b - a:

[a,b[ = [a,b) = {x ε R | a ≤ x < b}

c) Intervalo aberto à esquerda e fechado à direita de comprimento finito c = b - a:

(a,b] = ]a,b] = {x ε R | a < x ≤ b}

d) Intervalo aberto de comprimento finito c = b - a:

]a,b[ = (a,b) = {x ε R | a < x < b}

e) Intervalo aberto à direita de comprimento infinito:

]-∞,b[ = (-∞,b) = {x ε R | x < b}

f) Intervalo fechado à direita de comprimento infinito:

]-∞,b] = (-∞,b] = {x ε R | x ≤ b}

g) Intervalo fechado à esquerda de comprimento infinito:

[a,+∞) = [a,+∞[ = {x ε R | a ≤ x} ou [a,+∞) = [a,+∞[ = {x ε R | x ≥ a}

h) Intervalo aberto à esquerda de comprimento infinito:

]a,+∞[ = (a,+∞) = {x ε R | x > a}

i) Intervalo aberto de comprimento infinito:

]-∞,+∞[ = (-∞,+∞) = R

j) Intervalo fechado de comprimento nulo:

Como o comprimento é nulo e o intervalo fechado, então a = b e esse intervalo corresponde ao conjunto unitário {a}, isto é, a um ponto da reta real.

Concluo a classificação dos intervalos com a seguinte pergunta para vocês: E o intervalo vazio como seria definido?

1.5.3 União e Intersecção de Intervalos

Como intervalos são conjuntos é natural que as operações mencionadas possam ser realizadas. E, trata-se de um procedimento muito comum na resolução de alguns problemas.
E a maneira mais fácil e intuitiva de realizar essas operações é através da representação gráfica dos intervalos envolvidos. Vamos à um exemplo prático de como efetuar tais operações.
Sejam A = [-1,6] = {x ε R | -1 ≤ x ≤ 6} e B = (1,+∞) = {x ε R | x > 1} dois intervalos e vamos determinar A U B e A ∩ B.
Primeiramente, marcamos todos os pontos que são extremos ou origens dos intervalos em uma mesma reta. Em seguida, abaixo dessa reta, traçamos os intervalos que representam graficamente os conjuntos A e B. E, por fim, é só utilizar a definição de união e intersecção para determinar os trechos que estão em pelo menos um intervalo e os trechos comuns aos dois intervalos, respectivamente. Veja a solução de A ∩ B na figura a seguir e de onde é também facilmente observado o resultado de A U B:

A ∩ B = {x ε R | 1 < x ≤ 6} e A U B = {x ε R | -1 ≤ x}

Figura 7 – Intersecção de intervalos.

1.6 Números Complexos

Durante muito tempo foi só isso que precisamos, conseguíamos fazer todos os cálculos necessários com apenas estes números. Mas o tempo foi passando e novas necessidades foram surgindo, veja a história a seguir.

Com um grande salto no tempo, chegamos na casa de nosso querido amigo Caju!

Estava ele brincando com números em sua casa, quando houve o seguinte diálogo...

Caju - Mãe, mãe. Olha só que legal, eu sei que

é 5, porque 5 ao quadrado é 25.

Mãe - Oh! Meu filhão, muito bem!

Caju - Também sei que

é 9, pois 9 ao quadrado é 81.

Mãe - Ah, filhinho, que bonitinho! Mas me diz uma coisa, quanto é

Caju - Ora mãe, isso é fácil,

é –5 !

Mãe - Então me prova.

Caju - Olha mãe, (–5) ao quadrado dá... dá...... ops, dá +25...

Pois é, qualquer número negativo elevado ao quadrado resulta um valor positivo, então como fazer para calcular a raiz quadrada de um número negativo?

A partir daí firmou-se um mistério na Matemática: quanto vale esta raiz?

O tempo passou, e para solucionar o caso, convencionou-se que

, onde i é chamado de unidade imaginária.

Ex.:

Aqui foram usadas as propriedades de radiciação.

E com isso formou-se o conjunto dos números IMAGINÁRIOS, representado pela letra

, que é composto por todas as raízes de números negativas.

Novamente temos uma divisão, ou o número é Real ou não é Real. Por isso devemos colocar o balão dos imaginários separado dos números Reais. Veja o desenho:

Figura 8 – Conjunto dos complexos.

Agora, neste caso temos uma dúvida. Se somarmos um número Real com um número imaginário, como por exemplo:

2+3i

Em que balão ele vai se encontrar?

- Não pode ser real, e também não pode ser imaginário.

Para solucionar este caso, convencionou-se que o conjunto dos Reais junto com o conjunto dos Imaginários, é chamado de Conjunto dos números COMPLEXOS, que é representado por C.

Note que o conjunto dos números complexos é o conjunto de TODOS os números que conhecemos até hoje! Preste bem atenção, eu disse TODOS os números conhecidos até hoje! Veja o gráfico a seguir:

Figura 9 - Conjunto dos complexos.

1.7 Exercícios

1. Diga a qual conjunto pertence os números:

a)	Este número pode ser representado por 355/10 então é RACIONAL e consequentemente REAL e COMPLEXO
b)	Este número é inteiro e positivo, então NATURAL e consequentemente INTEIRO, RACIONAL, REAL e COMPLEXO.
c)	Esta raiz não é exata, então, IRRACIONAL e consequentemente REAL e COMPLEXO
d)	Esta raiz é exata, e isto é igual a 12, então, NATURAL e consequentemente INTEIRO, RACIONAL, REAL e COMPLEXO
e)	Raiz de número negativo, que é igual a 9i, então, IMAGINÁRIO e consequentemente COMPLEXO.
f)	Número multiplicado por unidade imaginária, IMAGINÁRIO e consequentemente COMPLEXO.
g)	Número real somado com um imaginário, COMPLEXO.

2. (FUVEST) P é uma propriedade relativa aos números naturais. Sabe-se que:

I) P é verdadeira para o natural n = 10;

II) se P é verdadeira para n, então P é verdadeira para 2n;

III) se P é verdadeira para n, n > 2, então P é verdadeira para n - 2.

Pode-se concluir que:

(A) P é verdadeira para todo número natural n.

(B) P é verdadeira somente para números naturais n, n ≥ 10.

(D) P é somente verdadeira para potências de 2.

(E) P não é verdadeira para os números ímpares.

1.8 Os Conjuntos Vazio e Universo

Exemplo: O conjunto vazio pode ser definido por intermédio de qualquer propriedade contraditória, como por exemplo:

Æ = { x Î N | 5 < x < 6 }. E também, Æ = {x | x ¹ x }.

{ x Î N / x < 1 e x > 2 } = Æ = { }

{ x / x . 0 = 2 } = Æ (não existe x que multiplicado por 0, resulte 2.)

Muitas vezes, para facilitar o raciocínio, recorremos ao Diagrama de Venn, conforme mostra a figura 10, para representarmos um determinado conjunto. Por exemplo:

Figura 10 – Diagrama de Venn.

Quando utilizamos a linguagem de conjuntos em determinado assunto, é importante determinar o conjunto formado pela totalidade dos elementos que estão sendo considerados; esse conjunto é chamado Conjunto Universo para o assunto em questão. Para representá-lo, usaremos o símbolo U.

Um Conjunto Finito é aquele em que podemos determinar a quantidade de elementos. Do contrário, o conjunto é dito Infinito. Por exemplo,

Conjuntos Finitos:

dígitos decimais = { 0, 1, 2, ..., 9}

dígitos binários = { 0, 1}

Conjuntos Infinitos:

números naturais = { 0, 1, 2, ...}

números naturais pares = { 0, 2, 4, 6, ...}

O número de elementos em um conjunto finito é chamado de Cardinalidade ou de Número Cardinal do Conjunto. Por exemplo, se A = { 1, 2, 2, 5} tem-se card(A) = 3.

Um conjunto A é dito enumerável (ou contável) se existe uma correspondência um para um entre todos os elementos de A e os número inteiros. Por exemplo:

· conjuntos finitos, N, Z, Q

· R - exemplo de conjunto não-enumerável. Basta mostrar que um subconjunto de R não é enumerável. (Por exemplo, o intervalo [0, 1]. )

1.9 Subconjuntos

Dados os conjuntos A e B, dizemos A é subconjunto de B quando todo elemento de A é também elemento de B. Para indicar este fato, usa-se a notação: A Ì B.

Quando A Ì B, diz-se também que A é parte de B, que está incluído em B, ou contido em B. A relação A Ì B chama-se Relação de Inclusão.

Os símbolos de inclusão Ì, Ë, É, É, são usados para estabelecer relações apenas entre dois conjuntos.

Obs.: A Ì A, qualquer que seja A.

Æ Ì A, qualquer que seja A.

N Ì z Ì Q Ì R (os conjuntos numéricos cumprem as relações de inclusão)

Quando se escreve A Ì B não está incluída a possibilidade de A = B. No caso em que A Ì B e A ¹ B, diz-se que A é um subconjunto próprio de B, ou que A é uma parte própria de B, ou ainda, que A está contido propriamente em B.

Dizemos que A = B Û A Ì B e B Ì A. Dois conjuntos A e B são iguais se, e somente se, todo elemento de A é também elemento de B e vice-versa. Por exemplo:

· {1, 1, 3, 4 } = { 1, 3, 4 }

· N* = {1, 2, 3, 4, ... } = z*₊

· N = {0, 1, 2, 3, 4, ... } = z₊

Obs.: 1) De um modo geral, para qualquer conjunto A, o conjunto vazio e o próprio conjunto A são seus subconjuntos.

2) Na relação entre P(A) e seus elementos, utilizamos os símbolos de pertinência (Î, Ï). Assim se {a} é elemento de P(A), podemos escrever {a} Î P(A).

3) Se o conjunto A tem n elementos, então P(A) tem 2ⁿelementos.

Exemplo: Os conjuntos numéricos cumprem as relações de inclusão, ou seja, N Ì z Ì Q Ì R. Temos N Ì z, o que traduz a afirmação: todo número natural é um número inteiro. Todo número inteiro é um número racional e existem números racionais que não são inteiros; isto é, z é parte própria de Q.

O conjunto vazio Æ é subconjunto de qualquer conjunto A . Para demonstrar, suponha que o conjunto vazio não esteja contido em A, isto é, Æ Ë A. Logo, existe um elemento a tal que a Î Æ e a Ï A. Como não existe a Î Æ, somos obrigados a admitir que Æ Ì A, seja qual for o conjunto A.

Uma vez introduzido o sinal de inclusão, a noção de igualdade entre conjuntos pode ser posta sob a forma:

A = B Û A Ì B e B Ì A.

A igualdade de conjuntos é:

Reflexiva: A = A, seja qual for o conjunto A;

Simétrica: se A = B, então B = A.

Transitiva: se A = B e B = C, então A = C.

A relação de inclusão A Ì B é:

Reflexiva: A Ì A, seja qual for o conjunto A;

Anti-simétrica: se A Ì B e B Ì A, então A = B.

Transitiva: se A Ì B e B Ì C, então A Ì C.

A verificação dessas propriedades é imediata e, será feita mais adiante.

1.10 Conjunto das Partes de um Conjunto

A família de todos os subconjuntos do conjunto A é denominada Conjunto das partes de A, simbolizada por P(A) ou 2^A. De modo geral, para qualquer conjunto A, o conjunto vazio e o próprio conjunto A são seus subconjuntos.

Na relação entre P(A) e seus elementos, utilizamos os símbolos de pertinência (Î, Ï). Assim se {a} é elemento de P(A), podemos escrever {a} Î P(A). {{a}} é subconjunto de P(A), ou seja, {{a}} Ì P(A).

Se o conjunto A tem n elementos, então P(A) tem 2ⁿelementos.

Exemplo: Seja X = { 1, 2, 3}. Então, P(X) = { Æ, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, X} com 8 elementos.

2 Operações entre Conjuntos

2.1 União

A união (ou reunião) dos conjuntos A e B é o conjunto A È B, formado por todos os elementos de A mais os elementos de B. Assim, afirmar que x Î A È B significa dizer que pelo menos uma das afirmações seguintes é verdadeira: x Î A ou x Î B. Podemos escrever

A È B = { x | x Î A ou x Î B}.

Exemplo: Tomemos o conjunto universo U = N e sejam A = { x Î N | 2 < x < 8} e B = { x Î N | x > 4}. Então A È B = { 3, 4, 5, 6, ... }.

2.2 Interseção

A interseção dos conjuntos A e B é o conjunto A Ç B, formado por todos os elementos comuns a A e B. Assim, afirmar que x Î A Ç B significa dizer que se tem, ao mesmo tempo, x Î A e x Î B. Escrevemos então

A Ç B = { x | x Î A e x Î B}.

Exemplo: Considere o exemplo anterior onde A = { x Î N | 2 < x < 8} e B = { x Î N | x > 4}. Então A Ç B = { 3, 4 }.

Pode ocorrer que não exista elemento algum x tal que x Î A e x Î B. Neste caso, tem-se A Ç B = Æ e os conjuntos A e B dizem-se disjuntos.

Dados dois conjuntos A e B, representamos graficamente a união dos conjuntos pela parte hachurada - figura 2(a). Hachure na figura 2(b) a interseção entre eles.

Figura 11 – Diagrama de Venn.

Quaisquer que sejam os conjuntos A e B tem-se A Ç B Ì A e A Ç B Ì B.

Exemplo: Sejam os conjuntos A = { x Î N | x é múltiplo de 2 } e B ={ x Î N | x é múltiplo de 3 }. Como um número natural é múltiplo simultaneamente de 2 e de 3 se e somente se este número é múltiplo de 6, temos: A Ç B = { x Î N | x é múltiplo de 6 }.

2.3 Diferença

A diferença entre os conjuntos A e B é o conjunto A - B, formado por todos os elementos de A que não pertencem a B. Escrevemos então

A - B = { x | x Î A e x Ï B}.

Graficamente, temos a figura 12, onde os conjuntos A e B são representados por discos. A diferença A - B é a parte indicada.

Figura 12 - Diagrama de Venn

2.4 Complementar

Dados os conjuntos A e B, onde B Ì A, chamamos de complementar de B em relação a A e se representa por C_AB o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A e não pertencem a B.

Se B Ì A, então C_AB = A - B .

2.5 Produto Cartesiano de Conjuntos

Outra operação útil entre conjuntos é o produto cartesiano que se baseia no conceito de par ordenado. Ao escrevermos um par ordenado (x, y), a ordem dos elementos é fundamental: x é o primeiro elemento do par e y é o segundo elemento do par.

O produto cartesiano dos conjuntos A e B é o conjunto A x B cujos elementos são todos os pares ordenados (x, y) tal que x é elemento de A e y é elemento de B. Portanto:

A x B = { (x,y) | x Î A e y Î B}.

Obs.: 1) Dados dois pares ordenados (x, y) e (a, b), dizemos que:

(x, y) = (a, b) Û x = a e y = b

2) Se o conjunto A tem m elementos e B n elementos, então A x B terá m.nelementos.

2.6 Propriedades Formais

Veremos, a seguir, algumas propriedades das operações entre subconjuntos de um dado conjunto fundamental E. As propriedades devem ser demonstradas.

2.6.1 Propriedades das Operações de União e Interseção

Quaisquer que sejam os conjuntos A, B, C, partes de um conjunto fundamental E, tem-se:

União	Interseção
1) A È Æ = A	1) A Ç Æ = Æ
2) A È E = E	2) A Ç E = A
3) A È C A = A	3) A Ç C A = A
4) A È A = A	4) A Ç A = A
5) A È B = B È A	5) A Ç B = B Ç A
6) (A È B) È C = A È (B È C)	6) (A Ç B) Ç C = A Ç (B Ç C)
7) A È B = A Û B Ì A	7) A Ç B = A Û A Ì B
8) A È (B Ç C) = (A È B) Ç (A È C)	8) A Ç (B È C) = (A Ç B) È (A Ç C)

2.6.2 Propriedades da Operação de tomar Complementares

Os conjuntos A e B são partes de um conjunto fundamental E, em relação ao qual estamos tomando os complementares.

1) C(C A) = A

2) A Ì B Û C B Ì C A

3) A = Æ Û C A = E

4) C (A È B) = C A Ç C B

5) C (A Ç B) = C A È C B

As propriedades 4 e 5, da tabela anterior, denominadas Leis de Morgan mostram que:

· o complementar da união é igual à interseção dos complementares; e que

· o complementar da interseção é igual à reunião dos complementares.

2.6.3 Propriedades da Operação de Diferença

Sejam A, B e C conjuntos quaisquer num universo E.

1) A - Æ = A e Æ - A = Æ

2) A - E = Æ e E - A = C A

3) A - A = Æ

4) A - C A = A

5) C (A - B) = C A È B

6) A - B = C B - C A

7) A È (B - C) = (A È B) - (C - A)

8) A Ç (B - C) = (A Ç B) - (A Ç C)

2.7 Exercícios

1. Se A = { a, b }, classifique em verdadeiro ou falso:

a) { b } Î A

b) Æ Î A

c) { a } Ì A

d) a Ì A

2. Diga quais das seguintes proposições são verdadeiras:

a) { {1,2},{3,4}} = {1,2,3,4}

b) {1,2} Ì {{1,2}}

c) {1,2} Î {{1,2}}

d) {a} Î {b,{a}}

e) {a} Ì {b,{a}}

f) Æ = {Æ}

g) Æ Ì {Æ}

h) Æ Î {Æ}

i) {1,2,2,3,3} = {1,2,3}

j) {1,2,3}Ì{1,2,2,3,3}

k) Æ Ì Æ

l) Æ Î Æ

3. - Sejam U = {2, 1, 2} , G={1, 2, {1}, {2}, {1,2}}.

a) U Î G? Justifique.

b) U Ì G? Justifique.

4. Estabeleça entre cada um dos conjuntos ou elementos U = {1,2,3,4}, V = {1,4,5}, W = 2, X = {3, Æ}, Y = Æ, Z = { {1}, 2, {3}, 4}, relações de “Î “ e/ou “Ì “, sempre que possível. Justifique.

5. Considere os conjuntos A={alunos de ED}, T={turmas existentes na Unitri}. Sendo n o número total de turmas, seja I={i Î IN: i £ n }. Designamos cada turma por P, iÎI. Diga quais das seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas, para i Î I:

a) PÎ T

b) PÍ T

c) PÎ A

d) PÍ A

e) PÎ A È T

f) PÍ A È T

6. Defina o conjunto IR -A, onde A é definido do seguinte modo:

a) A = { x Î IR : | x + 5 | ³ 4 Ù x £ 0 }

b) A = { x Î IR : 6x + 9 < 0 Ú 2x ³ 4 }

c) A = { x Î IR : 6x + 9 < 0 } È { x Î IR : 6x + 9 ³ 0 }

d) A = { x Î IR : | x - 7 | = 4 } Ç { x Î IR : 7x - 5 ³ 4 }

7. Dado o conjunto A = { 5, -2.3, 0.131131113..., 0.333..., 2/5, 3.141592... }, escreva o subconjunto de A cujos elementos sejam números racionais.

8. Qual é o conjunto união do conjunto dos inteiros positivos divisíveis por 2 e do conjunto dos inteiros positivos divisíveis por 3? Qual é o conjunto interseção?

9. Dado o conjunto U = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }

a) o subconjunto A dos números menores que 5.

b) o subconjunto B dos números maiores que 3 e menores que 6.

c) o subconjunto C dos números pares maiores que 6.

d) o subconjunto D dos números ímpares maiores que 7.

10. Dê um exemplo para ilustrar A È B = A È C com B ¹ C.

11. Mostre que para todo conjunto X, Æ Ì X.

12. Considere a seguinte coleção de conjuntos:

{n Î IN : n £ i}, para i Î IN.

a) Mostre que

, "i,j Î IN.

b) Determine

. c) Determine

13. De trinta e cinco candidatos a uma vaga de programador, vinte e cinco sabem FORTRAN, vinte e oito sabem Pascal e dois não sabem nenhuma delas. Quantos sabem as duas linguagens?

14. Um total de sessenta clientes potenciais foi a uma loja de equipamento informático. Deles cinqüenta e dois fizeram compras: - vinte compraram papel; - trinta e seis compraram diskettes; - quinze compraram tinteiros de impressora; - seis compraram simultaneamente papel e diskettes; - nove compraram simultaneamente diskettes e tinteiros; - cinco compraram simultaneamente papel e tinteiros. Quantos compraram os três artigos?

15. Um vendedor de praia tem cinco qualidades diferentes de sanduíches (fiambre, queijo, presunto, carne assada e mistas) e três qualidades diferentes de bebidas (sumo de laranja, cerveja e café). Quantos menus diferentes pode ele oferecer, compostos de uma bebida e de um sanduíche?

16. É possível ir de Braga ao Porto de comboio ou de autocarro. Do Porto para Lisboa pode-se ir de comboio, autocarro ou avião e de Lisboa para o Funchal pode-se ir de avião ou barco. Quantos itinerários distintos se podem escolher para ir de Braga ao Funchal passando por Lisboa?

17. Num baile havia quarenta e cinco raparigas. Destas, vinte dançaram rock, dezoito dançaram lambada, quinze dançaram twist, nove dançaram rock e twist, sete dançaram rock e lambada, seis dançaram twist e lambada e três dançaram as três danças. Quantas não dançaram?

18. Sejam A, B e C conjuntos. Prove as propriedades a seguir:

a) A È B = B È A e A Ç B = B Ç A.

b) A Ç B Ì A e A Ç B Ì B

c) A Ç B = B Ç A

d) A È B) È C = A È (B È C)

e) C ( C A ) = A

f) A Ì B Û C B Ì C A

g) A Ç C A = Æ

h) A È C A = U

i) C (A Ç B) = C A È C B

j) C B Ì C A Þ C(C A) Ì C(C B)

k) A È (B Ç C) = (A È B) Ç (A È C)

19. Prove que A = B se, e somente se, (A Ç CB) È (C A Ç B) = Æ.

20. Prove as seguintes afirmações:

a) A Ì B Û A Ç B = A

b) B Ì A Û A È B = A

c) (A Ç B) Ç C = A Ç (B Ç C)

d) A Ç (B È C) = (A Ç B) È (A Ç C)

e) (A - B) È (B - A) = (A È B) - (A Ç B)

f) C B Ì C A Þ C(C A) Ì C(C B)

g) A Ç B = Æ Û A Ì C B

h) A È B = U Û C A Ì B

i) A Ì B Û A Ç C B = Æ

21. Define-se diferença simétrica entre os conjuntos A e B por: A D B = (A-B) È (B-A). Mostre que:

a) A D B = ( A È B ) - ( A Ç B )

b) Se A D B = Æ então A = B

c) (A D B) D C = A D (B D C)

d) A D B = B D A

e) A D A = Æ

22. Determine P({a}), P(Æ), P({Æ}) e P(P(Æ)). (P(X) representa partes do conjunto X).

23. Prove que, para quaisquer conjuntos A e B, se tem:

a) AÍB Þ P(A) ÍP(B).

b) P(A) ÇP(B) = P(A ÇB).

c) P(A) È P(B) Í P(A ÈB). Em que condições se têm a igualdade?

24. Considere os seguintes conjuntos:

a) verifique se p(x)=1+2x-x Î A Ç B.

b) verifique se h(x)=1-x-x Î A Ç B.

c) determine A Ç B.

25. Mostrar que:

a) Se A e B são conjuntos finitos então AÈB é finito.

b) Se A e B são conjuntos finitos então A´B é finito.

c) Se A e B são conjuntos finitos então {f | f é aplicação de A em B} é finito.

26. Mostrar que:

a) Se A é um conjunto enumerável então {B Í A | B é finito} é enumerável.

b) Se A é um conjunto enumerável então P(A) não é enumerável.

c) Se A é um conjunto enumerável então {B Í A | B é infinito} não é enumerável.

27. Seja A um conjunto infinito. Mostrar que A é enumerável se e só se, para cada parte infinita X de A, se tem A ~ X.

28. São verdadeiras ou falsas as afirmações:

a) Se A, B, C são conjuntos tais que C ¹ Æ e A ´ C = B ´ C, então A = B.

b) Se A e B são conjuntos tais que A È B é enumerável, então A é enumerável ou B é enumerável.

c) Se A, B, C são conjuntos tais que A Ç C = B Ç C e C ¹ Æ, então A = B.

d) Sejam A um conjunto e x Ï A. Se A é infinito então A È {x} = A.

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APÊNDICE A. Os Símbolos da Linguagem dos Conjuntos - Resumo

Nos itens anteriores, à medida que falávamos sobre conjuntos, os símbolos foram surgindo e agora já conhecemos e estamos utilizando uma boa quantidade deles. Vamos fazer um resumo de tais símbolos:

a Î A lê-se: a pertence a A

a Ï A lê-se: a não pertence a A

A = {x | x goza a propriedade P} lê-se: A é o conjunto dos x tal que x goza a propriedade P

A = B lê-se: A é igual a B

A ¹ B lê-se: A é diferente de B

A Ì B lê-se: A está contido em B

A Ë B lê-se: A não está contido em B

A É B lê-se: A contém B

A É B lê-se: A não contém B

Æ lê-se: conjunto vazio

lê-se: complementar de A em relação a B

A - B lê-se: A menos B

A Ç B lê-se: A inter B

A È B lê-se: A união B

"x lê-se: qualquer que seja x ou para todo x

$ x lê-se: existe ao menos um x ou pelo menos um x

$ x lê-se: não existe x algum

p Þ q lê-se: se p então q ou p implica q

p Û q lê-se: p é equivalente a q

fisicativa

quinta-feira, 23 de janeiro de 2014

Teoria dos Conjuntos